從生活中發現數學：選擇的智慧¶

國立東華大學應用數學系魏澤人¶

2015 Nov 27 @師大附中 (MIT License http://github.com/tjwei/math-can-see-dimensions)

$\swarrow$ 打開$\|數學\|$之$\mathbf{\widetilde{眼}}$ $\nearrow$¶

∿ $\small\oint$奧義$\small\oint$ $\otimes$ $\mathbf{次元}^{\tiny\infty}$斬∿¶

𝕸𝕬𝕿𝕳 𝕮𝕬𝕹 𝕺𝕰𝕰 𝕯𝕴𝕸𝕰𝕹𝕺𝕴𝕺𝕹𝕺

從生活中發現數學：選擇的智慧¶

小女孩撿石頭的故事¶

(轉寄信、民間傳說故事)

據說林肯總統，在郊外散步時，遇到了一個小女孩。他想考驗這個女孩¶

說：「小朋友，這段路上有很多石頭，妳從這裡走到那頭，撿一個最大的石頭來給我。石頭愈大，禮物就愈大。¶

But¶

絕對不可以回頭撿哦！」¶

女孩便出發。¶

不多久，看到一粒很大的石頭，想撿，但又想：說不定前面還有更大的呢。¶

往前走了一陣，果然看到一粒更大的石頭。正想撿起，又想：「後面說不定還有更大的呢」。¶

就這樣猶豫不決，一不注意，便走到了盡頭，什麼也沒撿到。¶

很多人把它解釋在愛情上¶

小女孩走的這一段路不就好像是我們的人生嗎？¶

人生錯過了就再也不能回頭¶

用數學之眼，會看到裡面的數學
舒老師也看到了，等下會講
選擇的智慧，斬掉這一段

If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.

    ---John von Neumann

旋轉¶

In [2]:

!./rungeogebra

你的數學書在吶喊著：¶

換個角度來看世界吧！¶

真相藏在背後的次元¶

照片是怎麼壓縮成 JPEG 的?¶

"JPEG is alien technology from the future".¶

-- Tim Terriberry¶

In [3]:

show_dct_fig()

In [4]:

img = mpimg.imread('img/abel.jpg'); plt.imshow(img, cmap=mpl.cm.gray);

In [5]:

show_image(img)

In [6]:

tiny = img[40:48, 64:72];show_image(tiny)

$$ G = {DCT} \cdot f \cdot {DCT}^{T} $$$$ f = {DCT}^T \cdot G \cdot {DCT} $$

現代數學的書只分成兩種

那些你讀不完第一頁的，和
那些你讀不完第一行的。

--- C. N. Yang

In [8]:

tinyDCT = doDCT(tiny);show_image(tinyDCT)

In [11]:

figure(figsize=(12,36))
for u in range(12):
    subplot(6, 2, u+1)
    title(str(u))
    imshow(dct_all(img, u), cmap=mpl.cm.gray, interpolation="none")

Hybrid Image¶

A. Oliva, A. Torralba, P.G. Schyns (2006). Hybrid Images. ACM Transactions on Graphics, ACM Siggraph, 25-3, 527-530.

Art Style Transfer¶

A Neural Algorithm of Artistic Style" by Gatys, Ecker and Bethge. (26 Aug 2015)

http://arxiv.org/abs/1508.06576, http://arxiv.org/abs/1505.07376, http://bethgelab.org/deepneuralart/.

The difference between science and magic is that magicians usually know what they're doing.

-- Ashleigh Brilliant

乘法¶

$53 \times 78$¶

$ 5 \cdot 7 $¶

$ 5 \cdot 8 + 3 \cdot 7 $¶

$ 3 \cdot 8 $¶

Karatsuba algorithm¶

$53 \times 78$¶

$ A = 5 \cdot 7 $¶

$ B = 3 \cdot 8 $¶

$ C = (5+3)\cdot(7+8)$¶

$ 5 \cdot 8 + 3 \cdot 7 = C - A -B $¶

$5321 \times 7894$¶

$ A = 53 \cdot 78 $¶

$ B = 21 \cdot 94 $¶

$ C = (53+21)\cdot(78+94)$¶

$ 53 \cdot 94 + 21 \cdot 78 = C - A - B $¶

Toom–Cook¶

$ 352 \times 516 $¶

只要 5 次乘法¶

$ 352 \times 516 $¶

$p(x) = 3x^2 + 5x + 2 $¶

$q(x) = 5x^2 + 1x + 6 $¶

我們想求 $ p(10)q(10) $¶

$ r(x) = p(x)q(x) $ 是 4 次多項式¶

代入5 個值就能決定係數¶

$\left(\begin{matrix}p(0)\ p(1)\ p(-1)\ p(-2)\ p(\infty) \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 1\ 1 & 1 & 1\ 1 & -1 & 1\ 4 & -2 & 1\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\ 5\ 2 \end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}q(0)\ q(1)\ q(-1)\ q(-2)\ q(\infty) \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 1\ 1 & 1 & 1\ 1 & -1 & 1\ 4 & -2 & 1\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\ 1\ 6 \end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}r(0)\ r(1)\ r(-1)\ r(-2)\ r(\infty) \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}p(0)q(0)\ p(1)q(1)\ p(-1)q(-1)\ p(-2)q(-2)\ p(\infty)q(\infty) \end{matrix}\right).$

$\left(\begin{matrix}r(0)\ r(1)\ r(-1)\ r(-2)\ r(\infty) \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1\ 16 & -8 & 4 & -1 & 1\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}?\ ?\ ?\ ?\ ? \end{matrix}\right).$

原來是交叉相乘(covolution)
經由座標變換
變成逐點相乘
再轉換回來即可

Schönhage–Strassen¶

In [12]:

show_dct_fig()

word2vec¶

King - Man + Woman = Queen¶

In [13]:

w('掌法')

Out[13]:

('碧波', 0.8786735696108291)
('六七招', 0.8602076020115597)
('這路', 0.8328916738324939)
('拳法', 0.8291271932190515)
('降龍十八掌', 0.8038379575378314)
('外家', 0.7971126129482238)

In [14]:

w('蛤蟆功')-w('歐陽鋒')+ w('洪七公')

Out[14]:

('降龍十八掌', 0.26691697876367115)
('拳法', 0.2608070228799759)
('靈蛇', 0.25582180430784784)
('掌法', 0.2548873923161527)
('家傳', 0.2535258085466294)
('所授', 0.250061078437255)

In [15]:

w("華箏")-w("郭靖") + w("周師兄")

Out[15]:

('劉貴妃', 0.32884437986708626)
('皇爺', 0.3223600856772646)
('娶', 0.32044793109124564)
('我見', 0.3061185546085906)
('過世', 0.303332889431394)
('去世', 0.29416041969002693)

In [16]:

w('丘處機') + (w('鐵杖')-w("柯鎮惡"))

Out[16]:

('長劍', 0.3016226574224647)
('焦木', 0.2995734699696353)
('金龍', 0.296509977226307)
('鞭', 0.28455708122842804)
('袍袖', 0.2840341409468587)
('毒龍', 0.27535583926544316)

In [17]:

w("鐵掌") + (w('周伯通')-w("空明拳"))

Out[17]:

('裘千仞', 0.3249880468971764)
('鬧', 0.301599134320795)
('幫', 0.2603470882148582)
('裘幫主', 0.25407513503895546)
('瞧見', 0.24491260928373348)
('山腰', 0.24078460883957994)

In [18]:

w('降龍十八掌')-w("郭靖")

Out[18]:

('一門', 0.40075134620361336)
('絕招', 0.39389429085784866)
('家數', 0.3905594694915088)
('神龍', 0.3884201584832626)
('家傳', 0.3825764006590025)
('絕技', 0.3795906816042369)

In [19]:

w("飯")-w("吃")+w("喝")

Out[19]:

('一杯', 0.2818706313259437)
('杯酒', 0.2806620632516209)
('碗', 0.2717481336700087)
('半碗', 0.26724824180754236)
('斟', 0.2671082766766137)
('咕嘟', 0.26332281719493456)

Unsupervised Representation Learning with Deep Convolutional Generative Adversarial Networks

Alec Radford, Luke Metz, Soumith Chintala

Nov 19 2015

編碼¶

一千瓶酒和 10 隻小老鼠
一千瓶酒和 30 隻小老鼠
霍夫曼編碼(壓縮)
Entropy
如果老鼠會騙人?
- 一千瓶酒和 30 隻小老鼠(again?)
- 一千瓶酒和 14 隻小老鼠

世界充滿著「魔法」¶

打開數學之眼¶

世界變得更大¶

Credit¶

許多圖片素材來自 http://OpenClipart.org 的 CC0 授權圖片
Public Domain 圖片
DCT 部份源自 http://cs.marlboro.edu/courses/spring2014/information/code/dct/dct.html (The MIT License)
https://github.com/andersbll/neural_artistic_style (The MIT License)
https://github.com/Newmu/dcgan_code/ (The MIT License)
東華大學照片 by Ming Wei Wang CC-BY-SA 4.0
https://github.com/danielfrg/word2vec/ 產生 word2vec 結果

從生活中發現數學： 選擇的智慧¶

國立東華大學 應用數學系 魏澤人¶

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∿ $\small\oint$奧義$\small\oint$ $\otimes$ $\mathbf{次元}^{\tiny\infty}$斬∿¶

從生活中發現數學： 選擇的智慧¶

小女孩撿石頭的故事¶

據說林肯總統，在郊外散步時，遇到了一個小女孩。他想考驗這個女孩¶

說：「小朋友，這段路上有很多石頭，妳從這裡走到那頭，撿一個最大的石頭來給我。石頭愈大，禮物就愈大。¶

But¶

絕對不可以回頭撿哦！」¶

女孩便出發。¶

不多久，看到一粒很大的石頭，想撿，但又想：說不定前面還有更大的呢。¶

往前走了一陣，果然看到一粒更大的石頭。正想撿起，又想：「後面說不定還有更大的呢」。¶

就這樣猶豫不決，一不注意，便走到了盡頭，什麼也沒撿到。¶

很多人把它解釋在愛情上¶

小女孩走的這一段路不就好像是我們的人生嗎？¶

人生錯過了就再也不能回頭¶

旋轉¶

你的數學書在吶喊著：¶

換個角度來看世界吧！¶

真相藏在背後的次元¶

照片是怎麼壓縮成 JPEG 的?¶

"JPEG is alien technology from the future".¶

-- Tim Terriberry¶

Hybrid Image¶

Art Style Transfer¶

乘法¶

$53 \times 78$¶

$ 5 \cdot 7 $¶

$ 5 \cdot 8 + 3 \cdot 7 $¶

$ 3 \cdot 8 $¶

Karatsuba algorithm¶

$53 \times 78$¶

$ A = 5 \cdot 7 $¶

$ B = 3 \cdot 8 $¶

$ C = (5+3)\cdot(7+8)$¶

$ 5 \cdot 8 + 3 \cdot 7 = C - A -B $¶

$5321 \times 7894$¶

$ A = 53 \cdot 78 $¶

$ B = 21 \cdot 94 $¶

$ C = (53+21)\cdot(78+94)$¶

$ 53 \cdot 94 + 21 \cdot 78 = C - A - B $¶

Toom–Cook¶

$ 352 \times 516 $¶

只要 5 次乘法¶

$ 352 \times 516 $¶

$p(x) = 3x^2 + 5x + 2 $¶

$q(x) = 5x^2 + 1x + 6 $¶

我們想求 $ p(10)q(10) $¶

$ r(x) = p(x)q(x) $ 是 4 次多項式¶

代入5 個值就能決定係數¶

Schönhage–Strassen¶

更多更多¶

word2vec¶

King - Man + Woman = Queen¶

編碼¶

世界充滿著「魔法」¶

打開數學之眼¶

世界變得更大¶

Credit¶

從生活中發現數學：選擇的智慧¶

國立東華大學應用數學系魏澤人¶

從生活中發現數學：選擇的智慧¶